http://prezi.com/gl9akzhfkzd3/induccion/

http://prezi.com/ig5urrheck3n/recursividad/

Tarea2. Resuelva el problema 5 (pág 76) de la aplicación en los sistemas de administración de bases de datos. Publicar su producto en su página de Internet

 

 

Unidad III. Relaciones y grafos.

Tarea1. Resuelva los ejercicios del capítulo 4 del libro Discrete mathematics for computing del autor Rod Haggarty (Problemas 4.1, 4.2, 4.3). Publicar su producto en su página de Internet

EJERCICIO 4.1 

Considerando las tres familias dado en la figura 4.1

Fred y Mavis                       John y Mar

Alice           Ken       y     Sue      Mike       Penny   

                Jane     Fiona      Alan

Figura 4.1

Escribe abajo el orden de las parejas correspondientes de la siguiente relación en la serie P de las personas de estas tres familias.

(a) R = {(x, y): x es un abuelo de y}

(b) S= {(x, y): x es una hermana de y}

SOLUCION

(a)  R contenido del orden de las parejas:

(Fred, Jane),(Fred,Fiona),(Fred,Alan),(John,Jane),(John,Fiona) y (John,Alan).

(b) S contenido del orden de las parejas:

(Sue,Penny),(Penny,Sue),(Jane,Fiona), (Fiona,Jane ), (Alice,Ken),(Sue,Mike), (Penny,Mike),(Jane,Alan) y (Fiona,Alan).

EJERCICIO 4.2

Escribe el orden de las parejas correspondientes de las siguientes relaciones binarias entre A= {1, 3, 5, 7} y B= {2, 4, 6}:

(a) U = {(x, y): x + y = 9}

(b) V = {(x, y): x  < y}

SOLUCIÓN

(a) U contenido del orden de las parejas (3,6), (5,4) y (7,2).

(b) V contenido del orden de las parejas (1,2), (1,4), (1,6), (3,4), (3,6) y (5,6).

 

EJERCICIO 4.3

De la siguiente  relación  definida en A= {1, 2, 3, 4, 5,6}:

R= {(x, y): x es un divisor de y}

Escribe abajo el orden de las parejas correspondientes de R.

SOLUCION

R contenido de parejas:

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5) y (6,6).

 

EJERCICIO 4.4

Hallar la relación de la dirección  en la representación grafica de  R en el ejemplo 4.3. 

SOLUCION

Entonces la relación de las parejas de R es. {1, 2, 3, 4, 5,6}  y la dirección de la grafica tiene seis vértices. Dado el diagrama correspondiente que está en la figura 4.3. 

La relación de las parejas son los números y las vértices el total de las flechas.

EJERCICIO 4.5

La relación R en las parejas de A= {a, b, c,d) tiene la siguiente representación matriz donde las filas y las columnas deben de poner el nombre de los elementos de A en el orden dado.

F  T  T  F

F  F  T  



 UNIDAD III. RELACIONES Y GRAFOS.
USO DE RELACIONES.

PRODUCTO CARTESIANO

PARES ORDENADOS: intuitivamente un par ordenado (a,b) es un par de objetos en el cual el orden en el que estos se consideran debe ser: primero a y después b . Las letras a y b se llaman la primera y la segunda componentes, respectivamente, de la pareja ordenada.

Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales si solo si

a = c y b = d

PRODUCTO CARTECIANO: dados dos conjuntos A y B se llama producto cartesiano (o conjunto producto) de A y B, al conjunto de todos los pares ordenados (a, b) de tal forma que la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b es elemento del conjunto B. Este conjunto se denota por A × B y se lee “A producto cartesiano de B”

Simbólicamente

A × B = {(a, b) | a ? A ? b ? B}

Ejemplos

a) Si A = {a, b, c} ; B = {x, y}

A × B = = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)}

Nótese que el conjunto tiene seis elementos

b) Si A = {1, 2, 3} ; B = {4, 5, 6}

A × B = = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}

B × A = = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (6, 1), (6, 2), (6, 2)}

Nótese que en este ejercicio cada conjunto tiene nueve elementos, y que A × B ? B × A

En general, si n(A) = p y n(B) = q entonces, n(A × B) = n(B × A) = pq

Además, el producto cartesiano No es conmutativo, es decir A x B ? B x A a menos que A = B o que uno de los conjuntos sea vacío.

Si A y B son conjuntos finitos su producto puede ser representado en el plano cartesiano colocando el conjunto A en el eje horizontal, y B en el eje vertical. A cada par ordenado (a,b) le corresponde un punto del plano.

Por ejemplo, Si A = {a1, a2, a3, a4} y B = {b1, b2, b3} , el conjunto producto consta de 12 elementos o parejas, y en su representación gráfica deben aparecer 12 puntos que forman un red, así:   

Otra forma de representar el producto A × B es mediante un diagrama de árbol.

Por ejemplo, si A = {1, 2 ,3} y B = {a, b}, la gráfica arborescente correspondiente a A × B, es:

Relacion binaria

Una relación (binaria) R de un conjunto X a un conjunto Y es un subconjunto del producto cartesiano X × Y. si (x, y) ? R escribimos xRy y decimos que x esta relacionado con y.

Una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva en un conjunto X se llama relación de equivalencia sobre X.

Ejemplos

a) Sean los conjuntos X = {a, b, c, d} y Y = {1, 2, 3, 4}, definir una relación R de X en Y y determinar el dominio de R y lel rango de R.

R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}

El dominio se define por el conjunto {x ? X/(x, y) ? R para algún y ? Y}

dominio de R es el conjunto {a, b, c, d}

b) La relación R sobre X = {1, 2, 3, 4} esta definida por “(x, y) ? R si x = y“ es:

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

el dominio de R es el conjunto {1, 2, 3, 4}

el rango de R es el conjunto {1, 2, 3, 4}

se concluye que: el dominio y el rango son iguales porque la relación está definida sobre el mismo conjunto X.

La digráfica de la relación R es la siguiente:

Matrices de relaciones

Este tema lo encontramos en la página 132, sección 3.3. Se describirá brevemente como formar una matriz de relación y se realizara ejemplos. Una matriz es una manera conveniente de representar una relación R de X a Y. Se etiquetan los renglones con elementos de X (en algún orden arbitrario), y se etiquetan las columnas con elementos de Y (orden arbitrario). Luego el elemento en el renglón x y la columna y se hace igual a 1 si xRy, y 0 de otra manera. Esta matriz se llama matriz de la relación R.

Ejemplos:

Formar la matriz de relación de los siguientes conjuntos:

a)

R = {(1, b), (1, d), (2, c), (3, c), (3, b), (4, a)}

Donde X = {1, 2, 3,4} y Y = {a, b, c, d}

Considerando los ordenes: 1, 2, 3,4 y a, b, c, d tenemos la matriz:

b)

X = {2, 3, 4} Y = {5, 6, 7, 8}

Considerando las ordenes: 2, 3, 4 y 5, 6, 7,8; definida por xRy si x divide a y

GRAFOS

Existen varios tipos de grafos:

a) Un GRAFO NO DIRIGIDO G consiste en un conjunto V de vértices (o nodos) y un conjunto E de aristas (o arcos) tal que cada arista e ? E se asocia con un par no ordenado de vértices. Entonces se puede decir que si existe una arista e entre un par de vértices v y w, esta puede ser igual a: e = ( v, w) o e = ( w, v)

Un grafo esta formado de vértices y aristas (lados), por lo tanto G = {V, E}

Los vértices del grafo G son: V_1, V_2, V_3, V_4 entonces V = {V_1, V_2, V_3, V_4}

Las aristas del grafo son: e_1, e_2, e_3, e_4 entonces E = {e_1, e_2, e_3, e_4}

Entonces podemos decir que G = {{V_1, V_2, V_3, V_4}, {e_1, e_2, e_3, e_4}}

Como el grafo G no tiene lazos ni lados paralelos entonces es un grafo simple.

Otro ejemplo de grafo no dirigido es el siguiente:

Clasificacion ce tipos de relaciones

a) Reflexiva

La relación R del ejemplo anterior dada por:

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

se dice que es reflexiva por que cada elemento x ? X, (x, x) ? R; los pares ordenados (1, 1), (2, 2), (3, 3) y (4, 4) están en R. Si observamos la digráfica de la relación reflexiva, encontramos que tiene un lazo sobre cada vértice.

b) Simétrica

Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por:

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

“no es simétrica”, por cuanto no cumple la definición que dice: “si para cada x, y ? X, si (x, y) ? R, entonces (y, x) ? R”.

c) Transitiva

Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por:

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

“es una relación transitiva R sobre el cojunto X”, por cuanto cumple la definición que dice: “x, y, z ? X, si (x, y) y (y, z) ? R, entonces (x, z) ? R”.

Específicamente tenemos (1, 2), (2, 3) se tiene (1, 3); (1, 3), (3, 4) se tiene (1, 4); (2, 3), (3, 4) se tiene (2, 4) todos pertenecen a R.

d) Antisimétrica

Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por:

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

“la relación R sobre el cojunto X es antisimétrica”, por cuanto cumple la definición que dice para toda: “x, y X, si (x, y) ? R y x ? y, entonces (x, y) ? R”. Específicamente tenemos (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) pertenecen a R, pero (2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3) no pertenecen a R.

e) Inversa

Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por:

R = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}

La relación inversa de R que se denota por R-1, esta dada por:

R - 1 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (3, 3), (4, 3), (4, 4)}

Ejercicio 1

A partir del siguiente dígrafo, resuelva las siguientes instrucciones:

1. Escriba R como un conjunto de pares ordenados

R ={(3, 5), (4, 4), (5, 5), (3, 5), (3, 4), (4, 5)}

2. Escriba una relación reflexiva sobre G1

R = {(3,3), (4,4), (5,5)}

3. Escriba una relación simétrica sobre G1

R = {(3,3), (4,4), (5,5)}

4. Escriba una relación antisimétrica sobre G1

R = {(3, 5), (3, 4), (4, 5)}

5. Escriba una relación transitiva sobre G1

R ={(3, 4), (4, 5), (3, 5)}

6. Escriba R-1 como un conjunto de pares ordenados

R-1 = {(3, 3), (4, 3), (4, 4), (5, 4), (5, 5), (5, 3)}

EMPLEO DE GRAFOS

Podemos clasificar los grafos en dos grupos: dirigidos y no dirigidos. En un grafo no dirigido el par de vértices que representa un arco no está ordenado. Por lo tanto, los pares (v1, v2) y (v2, v1) representan el mismo arco. En un grafo dirigido cada arco está representado por un par ordenado de vértices, de forma que y representan dos arcos diferentes.

Ejemplos

G1 = (V1, A1)

V1 = {1, 2, 3, 4} A1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

G2 = (V2, A2)

V2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 6)}

G3 = (V3, A3)

V3 = {1, 2, 3} A3 = { <1, 2>, <2, 1>, <2, 3> }

Gráficamente estas tres estructuras de vértices y arcos se pueden representar de la siguiente manera:

 

Algunos de los principales tipos de grafos son los que se muestran a continuación:

Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular.

Por ejemplo, el primero de los siguientes grafos es 3-regular, el segundo es 2-regular y el tercero no es regular

Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto

Ejemplo.- de los dos grafos siguientes el primero es bipartito y el segundo no lo es

Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vértices. Un grafo completo con n vértices se denota Kn.

A continuación pueden verse los dibujos de K3, K4, K5 y K6

Un grafo bipartito regular: se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vértices.

A continuación ponemos los dibujos de K1,2, K3,3, y K2,5

Grafo nulo: Se dice que un grafo es nulo cuando los vértices que lo componen no están conectados, esto es, que son vértices aislados.

Grafos Isomorfos: Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunívoca (uno a uno), entre sus vértices de tal forma que dos de estos quedan unidos por una arista en común.

Caminos

Sean x, y " V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de aristas {x,v1}, {v1,v2},..., {vn,y}. En este caso

x e y se llaman los extremos del camino

El número de aristas del camino se llama la longitud del camino.

Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple.

Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un camino simple entre ellos.

Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o camino cerrado.

Llamaremos ciclo a un circuito simple

Un vértice a se dice accesible desde el vértice b si existe un camino entre ellos. Todo vértice es accesible respecto a si mismo

Camino.

Es un conjunto de vértices y aristas que llevan a un punto del grafo.

Clasificación de grafos.

Podemos clasificar los grafos en dos grupos: dirigidos y no dirigidos.

Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices

Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto.

Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vértices.

Un grafo bipartito regular: se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vértices.

Grafo nulo: Se dice que un grafo es nulo cuando los vértices que lo componen no están conectados, esto es, que son vértices aislados.

Grafos Isomorfos: Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunívoca (uno a uno), entre sus vértices de tal forma que dos de estos quedan unidos por una arista en común.

Grafos Platónicos: Son los Grafos formados por los vértices y aristas de los cinco sólidos regulares (Sólidos Platónicos), a saber, el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

GRAFOS EULERIANOS.

Aquellos que contienen un camino euleriano.

GRAFOS CONEXOS

Un grafo se puede definir como conexo si cualquier vértice V pertenece al conjunto de vértices y es alcanzable por algún otro.

ÁRBOLES

Un árbol se define como un tipo de grafo que no contiene ciclos, es decir es un grafo también acíclico, pero a su vez es conexo.

BOSQUES DE ÁRBOLES.

Los bosques de árboles son un caso similar a los árboles, son acíclicos, pero no son conexos.

RECORRIDO DE UN GRAFO.

Recorrer un grafo significa tratar de alcanzar todos los nodos que estén relacionados con uno que llamaremos nodo de salida. Las dos principales técnicas para recorrerlo son: recorrido en anchura y recorrido en profundidad.

GRAFO
Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas (arcs en inglés) que pueden ser orientados o no. Típicamente, un grafo se representa mediante una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas).
Los grafos son artefactos matemáticos que permiten expresar de una forma visualmente muy sencilla y efectiva las relaciones que se dan entre elementos de muy diversa índole. Un grafo simple está formado por dos conjuntos:
Un conjunto V de puntos llamados vértices o nodos.
‘’‘Un conjunto de pares de vértices que se llaman aristas o arcos y que indican qué nodos están relacionados. De una manera más informal podemos decir que un grafo es un conjunto de nodos con enlaces entre ellos, denominados aristas o arcos.’‘’

GRAFOS DIRIGIDOS
Un grafo en el cual toda arista es dirigida se denominará "digrafo" o bien "grafo dirigido". Un grafo dirigido o dígrafo consiste de un conjunto de vértices V y un conjunto de arcos A.
Los vértices se denominan nodos o puntos; los arcos también se conocen como aristas o líneas dirigidas que representan que entre un par de vértices existe una relación univoca.

GRAFOS NO DIRIGIDOS:
Un grafo en el cual todas las aristas son no dirigidas se denominará "grafo no dirigido". El grafo no dirigido es aquel que no tiene sentido su arista. Un grafo no dirigido G representa elementos, y una arista (v, w) representa una incompatibilidad entre los elementos v y w.
Si en un Grafo hay aristas dirigidas y aristas no dirigidas, entonces el grafo se denomina "mixto".

NODO
Nodos (también llamados vértices) se representan con puntos en el grafo.

RECURSIVIDAD

La recursividad forma parte del repertorio para resolver problemas en Computación y es de los métodos más poderosos y usados. Los algoritmos recursivos ofrecen soluciones estructuradas, modulares y elegantemente simples. La recursividad es un concepto fundamental en matemáticas y en computación. Una definición recursiva dice cómo obtener conceptos nuevos empleando el mismo concepto que intenta describir.

En toda situación en la cual la respuesta pueda ser expresada como una secuencia de movimientos, pasos o transformaciones gobernadas por un conjunto de reglas no ambiguas, la fórmula recursiva es un buen candidato para resolver el problema. Los razonamientos recursivos se encuentran en la base misma de las matemáticas porque son necesarios para describir conceptos centrales como el de número:

Ejemplo:

1. Factorial

Definición:

            factorial (n) = n!                               si n > 0

            factorial (n) = n*n-1*n-2* ... * 1      si n > 0

            el valor de 0! se define como

            factorial (0) = 1

Su definición recursiva es:

            factorial (n) = 1                                 si n = 0

            factorial (n) = n* factorial (n-1)       si n > 0

así para calcular el factorial de 4:

            factorial (4) = 4 * factorial (3) = 4 * 6 = 24

            factorial (3) = 3 * factorial (2) = 3 *2 = 6

            factorial (2) = 2 * factorial (1) = 2 * 1 = 2

            factorial (1) = 1 * factorial (0) = 1 * 1 = 1

estática int factorial (int n)

comienza

            si n = 0 entonces

                        regresa 1

            otro

                        regresa factorial (n-1) * n

termina

Las definiciones recursivas de funciones en matemáticas que tienen como argumentos números enteros, se llaman relaciones de recurrencia. Forma de una ecuación de recurrencia:

c_oa_r +c₁a_r-1 + c₂a_r-2 + ....+ c_ka_r-k = f(r)   función matemática discreta

donde c_i son constantes, es llamada una ecuación de recurrencia de coeficientes constantes de orden k, condicionada a que c₀ y c_k = 0.

Una definición recursiva dice cómo obtener conceptos nuevos empleando el mismo concepto que intenta definir.

El poder de la recursividad es que los procedimientos o conceptos complejos pueden expresarse de una forma simple.

Un razonamiento recursivo tiene dos partes: la base y la regla recursiva de construcción. La base no es recursiva y es el punto tanto de partida como de terminación de la definición.

Ejemplo:

            Base: La secuenciación, iteración condicional y selección son estructuras válidas de control que pueden ser consideradas como enunciados.

            Regla recursiva: Las estructuras de control que se pueden formar combinando de manera válida la secuenciación iteración condicional y selección también son válidos.

Un conjunto de objetos está definido recursivamente siempre que:

            (B) algunos elementos del conjunto se especifican explícitamente

            (R) el resto de los elementos del conjunto se definen en términos de los elementos ya definidos donde

            (B) se llama base

            (R) se llama cláusula recursiva

Observaciones:

1. El procedimiento se llama a si mismo

2. El problema se resuelve, resolviendo el mismo problema pero de tamaño menor

3. La manera en la cual el tamaño del problema disminuye asegura que el caso base eventualmente se alcanzará

La recursividad es un método poderoso usado en inteligencia artificial, su poder es que algunos conceptos complejos pueden expresarse en una forma simple. Una definición recursiva difiere de una definición circular en que tiene una forma de escapar de su expansión infinita. Este escape se encuentra en la definición o porción no recursiva o terminal de la definición.

Las fórmulas recursivas pueden aplicarse a situaciones tales como prueba de teoremas, solución de problemas combinatorios, algunos acertijos, etc.

4. Definición recursiva para elevar un número a una potencia: Un número elevado a la potencia cero produce la unidad; la potencia de un número se obtiene multiplicándolo por sí mismo elevando a la potencia menos uno. Por ejemplo:

            3² = 3*(3¹) = 3*(3*3⁰) = 3*(3*1)= 3*(3) = 9

estática int potencia (int n, int k)

comienza

            si k=0 entonces

                        regresa 1

            otro

                        regresa n * potencia (n,k-1

termina

5. Número de Combinaciones

Recursivamente, podemos definir el número de combinaciones de m objetos tomados de n, denotado (n,m) para n> 1 y 0 < m < n por:

(n,m) = 1                                                       si m = 0 ó m = n ó n = 1

(n,m) = (n-1, m) + (n-1,m-1)                       en otro caso

estática int  combinaciones (int n, int m)

comienza

            si m = 0 o m = n o n = 1 entonces

                        regresa 1

            otro

                        regresa combinaciones (n-1,m) + combinaciones (n-1,m-1)

termina

Definición: Cuando una llamada recursiva es la última posición ejecutada del procedimiento se llama recursividad de cola, recursividad de extremo final o recursión de extremo de cola.

Definición: Cuando un procedimiento incluye una llamada a si mismo se conoce como recursión directa.

Definición: Cuando un procedimiento llama a otro procedimiento y este causa que el procedimiento original sea invocado, se conoce como recursión indirecta.

Al principio algunas personas se sienten un poco incómodas con la recursividad, tal vez porque da la impresión de ser un ciclo infinito, pero en realidad es menos peligrosa una recursión infinita que un ciclo infinito, ya que una recursividad infinita pronto se queda sin espacio y termina el programa, mientras que la iteración infinita puede continuar mientras no se termine en forma manual.

Cuando un procedimiento recursivo se llama recursivamente a si mismo varias veces, para cada llamada se crean copias independientes de las variables declaradas en el procedimiento.

ALGORITMOS RECURSIVOS

 

Un algoritmo recursivo es un algoritmo que expresa la solución de un problema en términos de una llamada a sí mismo. La llamada a sí mismo se conoce como llamada recursiva o recurrente.

Recursividad indirecta

Cuando en una subrutina hay llamadas a ella misma se habla de recursividad directa, en contraposición, cuando se tienen varias subrutinas y estas se llaman unas a otras formando ciclos se dice que la recursión es indirecta.

Ejemplo:

1.-Da un algoritmo recursivo para hallar an, donde a es el número real distinto de cero y n un entero no negativo.

Solución:Podemos construir un algoritmo recursivo basándonos en la definición recursiva de an. 

Esta definición afirma que an+1 = a.an para n > 0 con la condición inicial a0 =

1. Para calcular an podemos usar sucesivamente la regla recursiva para reducir el exponente hasta que se haga cero

Algoritmo 1 un algoritmo recursivo para hallar an

Procedure potencia (a número real no nulo, n: entero no negativo) If n = 0 the potencia (a,n):=1 Else potencia (a,n):=a.potencia (a,n-1)

2.-Da un algoritmo recursivo para calcular el máximo común divisor de dos enteros no negativos a y b, a > b.

Solución: nos podemos basar en la reducción mcd(a, b) = mcd (b mod a, a) y la condición mcd (0,b) = b cuando b > 0.

Algoritmo 2 un algoritmo recursivo para hallar el mcd (a, b)

Procedure mcd(a, b: entero no negativo, a<b) If a = 0 the mcd (a,b):=b Else mcd (a, b):=mcd (b mod a,a)

 

3.- Expresa el algoritmo de búsqueda lineal como procedimiento recursivo

Solución: para buscar x en la sucesión a1, a2 …an en el paso decimo comparamos x y ai. Si x = a entonces i es la posición de x. es el caso contrario la búsqueda de x se reduce a buscar en la sucesión con un elemento menos es decir la sucesión ai + 1, …..an.

Algoritmo 3 un algoritmo recursivo de búsqueda lineal

Procedure búsqueda (i, j, x) If ai = x the Posicion :=i Else if i = j the Posicion :=0 Else busqueda (i+ 1, j, x

4.- El procedimiento recursivo del algoritmo 4 de el valor de n! cuando la entrada en un entero positivo n

Algoritmo 4 un algoritmo recursivo para la función factorial

Procedure factorial (n: entero positivo) If n= 1 the Factorial (n) :=1 Else factorial (n) :n. factorial (n-1)

5.-

Algoritmo 5 un algoritmo recursivo para los números de fibonacci

Procedure fibonacci (n entero no negativo) If n= 0 the Fibonacci (0) = 0 Else if n = 1 the Fibonacci(1) = 1 Else Fibonacci (n) = Fibonacci (n-1)+ Fibonacci (n-2)

 

Un algoritmo se llama recursivo si resuelve un problema reduciéndolo a un caso del mismo problema con cada dato de entrada más pequeño

Funciones

Los números de fabanacci, f0, f1, f2…. De definen a partir de las ecuaciones f0 = 0, f1 = 1 y fn = fn-1 + f n-2

Para n = 2, 3, 4, ….