Unida IV. Análisis combinatorio

Tarea para la unidad IV 

Ejercicios del capítulo 6 del libro Discrete mathematics for computing del autor Rod Haggarty (6.1, 6.2, 6.3, 6.5, 6.6, 6.7, 6.8, 6.9, 6.10, 6.13, 6.14).

6.1

a)Un hombre tiene cinco trajes, camisa ocho y setenta. ¿Cuántos equipos diferentes pueden poner juntos?

R= Por el principio de multiplicación, el hombre tiene 5 x 8 x 7 = 280 trajes distintos.

b)Una mujer tiene seis vestidos, faldas y blusas cinco tres. ¿Cuántos diversos equipos tienen?

R= la mujer tiene 5 x 3 = 15 trajes diferentes que consisten en una falda y una blusa. Como alternativa a uno de estos equipos se puede usar uno o seis vestidos. Por el principio de otra parte, tenía 15 +6 = 21 equipos posibles.

c)El helado está disponible en seis sabores diferentes. Para el postre se puede ordenar a cualquiera de una bola. Dos o tres bolas de bolos. ¿Cuántas postres diferentes son posibles?

R= hay seis postres diferentes que consisten en una bola, de 6 x 6 = 36 que consta de dos bolas y 6 x 6 x 6 = 216 que consta de tres bolas. Esto da un total de 6 + 36 + 216 = 258 postres diferentes.

6.2

a)Un palíndromo es una cadena de dígitos que se leen igual hacia atrás como hacia adelante. ¿Cuántos palíndromos diferentes hay con seis dígitos? ¿Cuántas con siete dígitos?

R = hay 10 dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. hay 10 x 10 x 10 = 1000 maneras de seleccionar los Firts tres dígitos y por lo que hay 1000 de seis dígitos palíndromos. Un argumento similar se aplica a los siete dígitos palíndromos, pero además hay 10 posibilidades para el dígito medio. Por lo tanto, hay 1000 x 10 = 10.000 palíndromos siete dígitos.

 

b)¿Cuántos números de cuatro dígitos a menos de 6000 se pueden hacer utilizando solamente los dígitos impares?

 

R= las coquetea dígitos debe ser de 1 o 3 o 5. los restantes tres dígitos cada uno puede ser seleccionado entre los cinco dígitos impares. Por lo tanto, hay 3 x 5 x 5 x 5 = 375 números de cuatro dígitos menos de 6000 y que contiene solamente los dígitos impares.

c)Una contraseña de equipo se compone de seis caracteres. Los dos primeros deben ser en minúscula y los cuatro restantes pueden ser cualquiera de los dígitos o una letra minúscula. ¿Cuántas contraseñas diferentes son posibles?

R= hay 26 x 26 = 676 maneras de seleccionar los dos primeros caracteres. Cada una de las restantes cuatro caracteres (letras y números 26 10). Esto puede hacerse en 36x 36 x 36 x 36 = 1 679616 maneras. Por lo tanto, 676 x 1 679616 = 1 135 420, 416 contraseñas diferentes son posible.

 

6.3

Sea S el conjunto de números de cuatro dígitos elaborados a partir de los dígitos 0,2,3,5 y 6, donde el primer dígito no puede ser 0.

(a) la cantidad de números hay en S?

R= hay cuatro primeros dígitos Posible y cada uno de los restantes tres dígitos puede ser seleccionado entre cinco posibilidades. Esto da un total de 4x5x5x5 = 500 números en S.

(b) la cantidad de números en S no tienen repita dígitos?

R= el primer dígito puede ser seleccionado de cuatro maneras. Los restantes tres dígitos forma ordenada n selección de tres objetos a partir de cuatro posibilidades sin repetición; esto puede hacerse en 4x3x2 = 24 maneras. Por lo tanto, hay 4x24 = 96 elementos de S que no tienen repiten dígitos.

(c) ¿cuántos de aquellos en la parte (b) se ven?

R= si los últimos dígitos es 0, los tres primeros dígitos se puede seleccionar en 4x3x2 = 24 maneras. Si el último dígito es 2 o 6 a continuación, (ya que el primer dígito no puede ser 0) los tres primeros dígitos se puede seleccionar en 3x3x2 = 18 maneras. Por el principio de adición, 24 18 18 = 60 de los números en la parte b) son aún.

(d) ¿Cuántos de los que en la parte (b) son mayores de 4000?

R= El primer dígito es 5 o 6. Puesto que hay 4x3x2 = 24 maneras de seleccionar los restantes tres dígitos, hay 2x24 = 48 números en la parte b) mayor que 4000. 

 

6.5

(a) ¿De cuántas maneras se puede primero, segundo y tercer premio en un concurso de arreglos florales se da a 17 participantes?

R= El orden es importante y se repite no se les permite por lo que hay de P (17,3) = 4080 formas de concesión de premios.

(b) un comité de 20 personas elige a un presidente y un vicepresidente. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

R= El orden es importante y se repite no se les permite por lo que hay de P (20,2) = 380 maneras de elegir un presidente y un vicepresidente.

(c) una contraseña de equipo se elige como en el ejercicio 6,2 (c). ¿Contraseñas que hay que no contienen caracteres repetidos?

R= Hay P (26,2) = 650 maneras de seleccionar los dos primeros caracteres y P (36,4) = 1,413,720 maneras de seleccionar los cuatro últimos caracteres. Esto da un total de 650 x 918 = 1.413.720, 918.000 contraseñas diferentes que no contienen caracteres repetidos.

 

6.6

(a) un equipo de hockey tiene 18 jugadores, 11 jugadores forman un equipo. ¿Cuántos equipos diferentes son posibles?

R= Orden de la selección no importa y no se permiten repeticiones. Por lo tanto existen C (18,11) = 31, 824 selecciones diferentes de equipo posible.

(b) un jurado de 5 mujeres y 7 hombres debe ser seleccionado de un grupo de 8 mujeres y 11 hombres. ¿Cuantos números de jurados diferentes son posibles?

R= Las mujeres en un jurado puede ser seleccionado en C (8,5) maneras = 56. Los hombres de un jurado puede ser seleccionado en C (11,7) = 330 maneras. Por lo tanto, hay 56 x 330 = 18, 480 jurados mejores elementos diferentes.

(c) un equipo de cuatro jugadores de golf se va a seleccionar a cinco jugadores profesionales y aficionados de cinco años. ¿Cuántos equipos constan de tres jugadores profesionales y un jugador amateur? ¿Cuántos equipos que consistan exclusivamente en los jugadores profesionales o aficionados?

R= Hay C (5,3) = 10 maneras de seleccionar a tres jugadores profesionales y C (5,1) = 5 maneras para seleccionar el jugador amateur. Esto le da a 10x5 = 50 posibles equipos que contienen, precisamente, uno de los jugadores aficionados. El número de equipos formados exclusivamente por jugadores profesionales es C (5,4) = 5. Del mismo modo, hay 5 equipos formados por sólo jugadores aficionados. Por lo tanto, hay 5 +5 = 10 equipos que contengan sólo los profesionales o aficionados.

6.7

Una comisión especial de tres miembros del parlamento se va a formar la mano de obra de cinco conservadores, tres y cuatro miembros liberales demócratas.

(a) ¿De cuántas maneras puede el comité de formarse?

R= existen C (12, 3) = 220 maneras de formar el comité.

(b) ¿De cuántas maneras puede el comité se formará si por lo menos un demócrata liberal se debe incluir?

R= existen C (8, 3) = 56 comités que no contienen miembros liberales demócratas. Puesto que hay 220 comités que se pueden formar cuando no se imponen restricciones, hay 220 - 56 = 164 comités posibles que contengan al menos un liberal demócrata.

(c) ¿En cuántos puede formar el comité si no se puede incluir tanto los miembros de mano de obra y conservador?

R= Si el Comité no contiene miembros del Partido Laborista existen C (9, 3) = 84 posibilidades. Si el comité no contiene miembros conservadores existen C (7, 3) = 35 posibilidades. Esto da un total de 84 + 35 = 119. posibilidades. Sin embargo, esta cuenta el número de comités compuestos únicamente de los demócratas liberales dos veces. Hay C (4, 3) = 4 de estos fines por lo que hay 115 comités y del tipo requerido.

(d)¿De cuántas maneras puede el comité se formará si se debe incluir al menos conservadora y al menos un miembro de la mano de obra?

R = hay C (5,2) x C (3,1) = 10 x 3 = 30 comités formados por dos conservadores y un miembros de mano de obra, C (5,1) x C (3,2) = 15 que consta de un Coservative y dos miembros del Partido Laborista, y C (5,1) x C (3,1) x C (4,1) = 60 que consta de un miembro de cada partido. Esto da un total de 30 + 15 + 60 = 105 posibilidades.

 

6.8
Una pequeña empresa emplea a ocho personas en el departamento de fabricación, cinco en el departamento de marketing y tres en el departamento de contabilidad. Un equipo de proyecto de seis años es que se formó para discutir el lanzamiento de un nuevo producto. ¿De cuántas maneras puede el equipo se formará si:

(a) ha de haber dos representantes de cada departamento?

R= Hay C (8,2) xc (5,2) x C (3,2) = 840 equipos con dos representantes de cada departamento.

(b) Hay por lo menos dos miembros del departamento de producción?

R= si no hay un representante del departamento de fabricación, C (8,6) = 28 equipos son posibles. Si hay un representante, C (8,1) x C (8,5) = 448 equipos son posibles. Por lo tanto, 28 + 448 = 476 equipos de bronceado contienen menos dos representantes de la fabricación. Desde C (16,6) = 8008 equipos se pueden formar sin restricciones, hay 8008 - 476 = 7532 equipos del tipo requerido.

(c) no van a ser los representantes de los tres departamentos?

R= si sólo un departamento está representado debe ser el departamento de fabricación, en cuyo caso hay C (8,6) = 28 equipos posibles.

Ahora calculamos el número de equipos que contienen exactamente dos representantes de los departamentos. Hay tres casos a considerar.
En primer lugar, hay C (13,6) = 1716 los equipos que pueden ser formados a partir de los ocho miembros del departamento de fabricación y los cinco miembros del departamento de marketing. Dado que 28 de ellos excluye cualquier representación de la comercialización. 1716/28 = 1688 contiene los representantes de ambos departamentos. Del mismo modo, existen C (11,6) - 28 = 434 equipos que contienen los representantes de la fabricación y los departamentos de contabilidad. Por último, todos los equipos formados a partir de los miembros de los departamentos de marketing y contabilidad contienen los representantes de ambos departamentos y hay C (8,6) = 28 de ellos.

 

6.9

(a) un restaurante ofrece cinco cursos diferentes principal de su menú. un grupo de seis personas cada ORDEN plato principal. ¿De cuántas maneras se pueden colocar las órdenes?

R= Esta es una selección desordenada de seis platos principales de un conjunto de cinco opciones con repetición permitidos. El número de maneras de hacer esto viene dado por C (n + k-1, n-1) donde n = 5 y k = 6. Esto le da a C (10,4) = 210 osders diferentes.

(b) una florista de las poblaciones de rosas en cuatro colores diferentes. cuántos ramos de flores diferentes de una docena de rosas puede estar compuesta?

R= cada ramo es una selección desordenada de una docena de rosas, con la repetición, a partir de los cuatro colores disponibles. Por lo tanto, existen C (4 12-1, 4-1) = C (15, 3) = 455 ramos de flores posibles.

 

6.10

Va a comprar cinco tarjetas de Navidad una tienda que las poblaciones de cuatro tipos diferentes que te gustan.

(a) ¿De cuántas maneras hay de compra para comprar las tarjetas de cinco?

R= esta es la selección desordenada de cinco objetos a partir de un conjunto de cuatro objetos con repetición deseados. Esto puede hacerse en C (4 5-1, 4-1) = C (8,3) = 56 maneras.

(b) ¿Cuántas posibilidades son exactamente dos de los cuatro tipos?

R= hay C (4,2) = 6 formas de especificar cualquiera de los dos tipos de tarjeta. Para cada una de estas especificaciones que hacer una selección desordenada de los cinco objetos de los dos tipos con la repetición. Esto puede hacerse en C (2 5-1, 2-1) = C (6,1) = 6 maneras. Horewer, dos de estas posibilidades contener sólo un tipo de tarjeta. Por lo tanto, hay 6 x 4 = 24 selecciones de cinco cartas que contienen exactamente dos de los tipos de tarjetas de ofter.

 

6.13

¿Cuántos arreglos diferentes hay de las letras de la palabra
Abracadabra?

Hay 11! Permutaciones de las letras A, B, R, A, C, A, D, A, B, R y A.
Desde las cinco de A, dos de B y dos de R son indistinguibles, hay
11! / 5! 2! 2! = 83160 ó Reordenamientos diferentes.

cuántos de ellos:

(a) ¿comienza con la letra C?

Hay
10! / 5! 2! 2! = 7560 ó

Diferentes reordenamientos de las letras A, B, R, A, A, D, A, B, R y A, y así 7560 reordenamientos de las letras en ABRACADABRA comienzan con C.

(b) ¿han Bs juntos?

Se requiere el número de reordenamientos diferentes objetos de la 10 BB, A, R, A, C, A, D, A, R y A. esto es sólo
10! / 5! 2! = 15120 ó

6.14

(a) determinar el coeficiente de ab en la expansión de (a + b)

R= El coeficiente requerida es C (8,5) = 56.

(b) determinar el coeficiente de xyz en la expansión de (x + y + z)

R= El coeficiente requerido es
8! / 1! 3! 4! = 280 ó

(c) determinar el coeficiente de xyz en la expansión de (x + 2y + z -1)

La expansión de (〖a + b + c + d)〗 ^5 contiene el plazo de 60 〖〗ab ^ 2 cd. Sea a = x, b = 2a, c y d = z = -1.
Entonces, la expansión de (x 〖2 y + z-1)〗 ^5 contiene el plazo de 60 x 〖(2a)〗 ^ 2 z (-1) = -240 〖〗 ^ 2 xy z.
Por lo tanto, el coeficiente de xy 〖〗 ^2 z. en el desarrollo de (x 〖2 y + z-1)〗 ^5 es -240.