Unida IV. Análisis combinatorio
Tarea
para la unidad IV
Ejercicios del capítulo 6 del libro Discrete
mathematics for computing del autor Rod Haggarty (6.1, 6.2, 6.3, 6.5, 6.6,
6.7, 6.8, 6.9, 6.10, 6.13, 6.14).
6.1
a)Un hombre tiene cinco
trajes, camisa ocho y setenta. ¿Cuántos equipos diferentes pueden poner juntos?
R= Por el principio de multiplicación, el hombre
tiene 5 x 8 x 7 = 280 trajes distintos.
b)Una mujer tiene seis
vestidos, faldas y blusas cinco tres. ¿Cuántos diversos equipos tienen?
R= la mujer tiene 5 x 3 = 15 trajes diferentes que
consisten en una falda y una blusa. Como alternativa a uno de estos equipos se
puede usar uno o seis vestidos. Por el principio de otra parte, tenía 15 +6 =
21 equipos posibles.
c)El helado está
disponible en seis sabores diferentes. Para el postre se puede ordenar a
cualquiera de una bola. Dos o tres bolas de bolos. ¿Cuántas postres diferentes
son posibles?
R= hay seis postres diferentes que consisten en una
bola, de 6 x 6 = 36 que consta de dos bolas y 6 x 6 x 6 = 216 que consta de
tres bolas. Esto da un total de 6 + 36 + 216 = 258 postres diferentes.
6.2
a)Un palíndromo es una
cadena de dígitos que se leen igual hacia atrás como hacia adelante. ¿Cuántos
palíndromos diferentes hay con seis dígitos? ¿Cuántas con siete dígitos?
R = hay 10 dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
hay 10 x 10 x 10 = 1000 maneras de seleccionar los Firts tres dígitos y por lo
que hay 1000 de seis dígitos palíndromos. Un argumento similar se aplica a los
siete dígitos palíndromos, pero además hay 10 posibilidades para el dígito
medio. Por lo tanto, hay 1000 x 10 = 10.000 palíndromos siete dígitos.
b)¿Cuántos números de
cuatro dígitos a menos de 6000 se pueden hacer utilizando solamente los dígitos
impares?
R= las coquetea dígitos debe ser de 1 o 3 o 5. los
restantes tres dígitos cada uno puede ser seleccionado entre los cinco dígitos
impares. Por lo tanto, hay 3 x 5 x 5 x 5 = 375 números de cuatro dígitos menos
de 6000 y que contiene solamente los dígitos impares.
c)Una contraseña de equipo
se compone de seis caracteres. Los dos primeros deben ser en minúscula y los
cuatro restantes pueden ser cualquiera de los dígitos o una letra minúscula.
¿Cuántas contraseñas diferentes son posibles?
R= hay 26 x 26 = 676 maneras de seleccionar los dos
primeros caracteres. Cada una de las restantes cuatro caracteres (letras y
números 26 10). Esto puede hacerse en 36x 36 x 36 x 36 = 1 679616 maneras. Por
lo tanto, 676 x 1 679616 = 1 135 420, 416 contraseñas diferentes son posible.
6.3
Sea S el conjunto de números de cuatro dígitos
elaborados a partir de los dígitos 0,2,3,5 y 6, donde el primer dígito no puede
ser 0.
(a) la cantidad de números hay en S?
(a) la cantidad de números hay en S?
R= hay cuatro primeros dígitos Posible y cada uno
de los restantes tres dígitos puede ser seleccionado entre cinco posibilidades.
Esto da un total de 4x5x5x5 = 500 números en S.
(b) la cantidad de números en S no tienen repita dígitos?
R= el primer dígito puede ser seleccionado de
cuatro maneras. Los restantes tres dígitos forma ordenada n selección de tres
objetos a partir de cuatro posibilidades sin repetición; esto puede hacerse en
4x3x2 = 24 maneras. Por lo tanto, hay 4x24 = 96 elementos de S que no tienen
repiten dígitos.
(c) ¿cuántos de aquellos en la parte (b) se ven?
R= si los últimos dígitos es 0, los tres primeros
dígitos se puede seleccionar en 4x3x2 = 24 maneras. Si el último dígito es 2 o
6 a continuación, (ya que el primer dígito no puede ser 0) los tres primeros
dígitos se puede seleccionar en 3x3x2 = 18 maneras. Por el principio de
adición, 24 18 18 = 60 de los números en la parte b) son aún.
(d) ¿Cuántos de los que en la parte (b) son mayores de 4000?
R= El primer dígito es 5 o 6. Puesto que hay 4x3x2
= 24 maneras de seleccionar los restantes tres dígitos, hay 2x24 = 48 números
en la parte b) mayor que 4000.
6.5
(a) ¿De cuántas maneras se
puede primero, segundo y tercer premio en un concurso de arreglos florales se
da a 17 participantes?
R= El orden es importante y se repite no se les
permite por lo que hay de P (17,3) = 4080 formas de concesión de premios.
(b) un comité de 20 personas elige a un presidente y un vicepresidente. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
R= El orden es importante y se repite no se les
permite por lo que hay de P (20,2) = 380 maneras de elegir un presidente y un
vicepresidente.
(c) una contraseña de equipo se elige como en el ejercicio 6,2 (c). ¿Contraseñas que hay que no contienen caracteres repetidos?
R= Hay P (26,2) = 650 maneras de seleccionar los
dos primeros caracteres y P (36,4) = 1,413,720 maneras de seleccionar los
cuatro últimos caracteres. Esto da un total de 650 x 918 = 1.413.720, 918.000
contraseñas diferentes que no contienen caracteres repetidos.
6.6
(a) un equipo de hockey
tiene 18 jugadores, 11 jugadores forman un equipo. ¿Cuántos equipos diferentes
son posibles?
R= Orden de la selección no importa y no se
permiten repeticiones. Por lo tanto existen C (18,11) = 31, 824 selecciones
diferentes de equipo posible.
(b) un jurado de 5 mujeres y 7 hombres debe ser seleccionado de un grupo de 8 mujeres y 11 hombres. ¿Cuantos números de jurados diferentes son posibles?
R= Las mujeres en un jurado puede ser seleccionado
en C (8,5) maneras = 56. Los hombres de un jurado puede ser seleccionado en C
(11,7) = 330 maneras. Por lo tanto, hay 56 x 330 = 18, 480 jurados mejores
elementos diferentes.
(c) un equipo de cuatro jugadores de golf se va a seleccionar a cinco
jugadores profesionales y aficionados de cinco años. ¿Cuántos equipos constan
de tres jugadores profesionales y un jugador amateur? ¿Cuántos equipos que
consistan exclusivamente en los jugadores profesionales o aficionados?
R= Hay C (5,3) = 10 maneras de seleccionar a tres
jugadores profesionales y C (5,1) = 5 maneras para seleccionar el jugador
amateur. Esto le da a 10x5 = 50 posibles equipos que contienen, precisamente,
uno de los jugadores aficionados. El número de equipos formados exclusivamente
por jugadores profesionales es C (5,4) = 5. Del mismo modo, hay 5 equipos
formados por sólo jugadores aficionados. Por lo tanto, hay 5 +5 = 10 equipos
que contengan sólo los profesionales o aficionados.
6.7
Una comisión especial de tres miembros del
parlamento se va a formar la mano de obra de cinco conservadores, tres y cuatro
miembros liberales demócratas.
(a) ¿De cuántas maneras puede el comité de formarse?
(a) ¿De cuántas maneras puede el comité de formarse?
R= existen C (12, 3) = 220 maneras de formar el
comité.
(b) ¿De cuántas maneras puede el comité se formará si por lo menos un demócrata liberal se debe incluir?
(b) ¿De cuántas maneras puede el comité se formará si por lo menos un demócrata liberal se debe incluir?
R= existen C (8, 3) = 56 comités que no contienen
miembros liberales demócratas. Puesto que hay 220 comités que se pueden formar
cuando no se imponen restricciones, hay 220 - 56 = 164 comités posibles que
contengan al menos un liberal demócrata.
(c) ¿En cuántos puede formar el comité si no se puede incluir tanto los miembros de mano de obra y conservador?
(c) ¿En cuántos puede formar el comité si no se puede incluir tanto los miembros de mano de obra y conservador?
R= Si el Comité no contiene miembros del Partido
Laborista existen C (9, 3) = 84 posibilidades. Si el comité no contiene
miembros conservadores existen C (7, 3) = 35 posibilidades. Esto da un total de
84 + 35 = 119. posibilidades. Sin embargo, esta cuenta el número de comités
compuestos únicamente de los demócratas liberales dos veces. Hay C (4, 3) = 4
de estos fines por lo que hay 115 comités y del tipo requerido.
(d)¿De cuántas maneras puede el comité se formará si se debe incluir al menos conservadora y al menos un miembro de la mano de obra?
R = hay C (5,2) x C (3,1) = 10 x 3 = 30 comités
formados por dos conservadores y un miembros de mano de obra, C (5,1) x C (3,2)
= 15 que consta de un Coservative y dos miembros del Partido Laborista, y C
(5,1) x C (3,1) x C (4,1) = 60 que consta de un miembro de cada partido. Esto
da un total de 30 + 15 + 60 = 105 posibilidades.
Una pequeña empresa emplea a ocho personas en el departamento de fabricación, cinco en el departamento de marketing y tres en el departamento de contabilidad. Un equipo de proyecto de seis años es que se formó para discutir el lanzamiento de un nuevo producto. ¿De cuántas maneras puede el equipo se formará si:
(a) ha de haber dos representantes de cada departamento?
R= Hay C (8,2) xc (5,2) x C (3,2) = 840 equipos con
dos representantes de cada departamento.
(b) Hay por lo menos dos miembros del departamento de producción?
R= si no hay un representante del departamento de
fabricación, C (8,6) = 28 equipos son posibles. Si hay un representante, C
(8,1) x C (8,5) = 448 equipos son posibles. Por lo tanto, 28 + 448 = 476
equipos de bronceado contienen menos dos representantes de la fabricación.
Desde C (16,6) = 8008 equipos se pueden formar sin restricciones, hay 8008 -
476 = 7532 equipos del tipo requerido.
(c) no van a ser los representantes de los tres departamentos?
R= si sólo un departamento está representado debe
ser el departamento de fabricación, en cuyo caso hay C (8,6) = 28 equipos
posibles.
Ahora calculamos el número de equipos que contienen
exactamente dos representantes de los departamentos. Hay tres casos a
considerar.
En primer lugar, hay C (13,6) = 1716 los equipos que pueden ser formados a partir de los ocho miembros del departamento de fabricación y los cinco miembros del departamento de marketing. Dado que 28 de ellos excluye cualquier representación de la comercialización. 1716/28 = 1688 contiene los representantes de ambos departamentos. Del mismo modo, existen C (11,6) - 28 = 434 equipos que contienen los representantes de la fabricación y los departamentos de contabilidad. Por último, todos los equipos formados a partir de los miembros de los departamentos de marketing y contabilidad contienen los representantes de ambos departamentos y hay C (8,6) = 28 de ellos.
En primer lugar, hay C (13,6) = 1716 los equipos que pueden ser formados a partir de los ocho miembros del departamento de fabricación y los cinco miembros del departamento de marketing. Dado que 28 de ellos excluye cualquier representación de la comercialización. 1716/28 = 1688 contiene los representantes de ambos departamentos. Del mismo modo, existen C (11,6) - 28 = 434 equipos que contienen los representantes de la fabricación y los departamentos de contabilidad. Por último, todos los equipos formados a partir de los miembros de los departamentos de marketing y contabilidad contienen los representantes de ambos departamentos y hay C (8,6) = 28 de ellos.
(a) un restaurante ofrece
cinco cursos diferentes principal de su menú. un grupo de seis personas cada
ORDEN plato principal. ¿De cuántas maneras se pueden colocar las órdenes?
R= Esta es una selección desordenada de seis platos
principales de un conjunto de cinco opciones con repetición permitidos. El
número de maneras de hacer esto viene dado por C (n + k-1, n-1) donde n = 5 y k
= 6. Esto le da a C (10,4) = 210 osders diferentes.
(b) una florista de las poblaciones de rosas en cuatro colores diferentes. cuántos ramos de flores diferentes de una docena de rosas puede estar compuesta?
(b) una florista de las poblaciones de rosas en cuatro colores diferentes. cuántos ramos de flores diferentes de una docena de rosas puede estar compuesta?
R= cada ramo es una selección desordenada de una
docena de rosas, con la repetición, a partir de los cuatro colores disponibles.
Por lo tanto, existen C (4 12-1, 4-1) = C (15, 3) = 455 ramos de flores
posibles.
6.10
Va a comprar cinco tarjetas de Navidad una tienda
que las poblaciones de cuatro tipos diferentes que te gustan.
(a) ¿De cuántas maneras hay de compra para comprar las tarjetas de cinco?
(a) ¿De cuántas maneras hay de compra para comprar las tarjetas de cinco?
R= esta es la selección desordenada de cinco
objetos a partir de un conjunto de cuatro objetos con repetición deseados. Esto
puede hacerse en C (4 5-1, 4-1) = C (8,3) = 56 maneras.
(b) ¿Cuántas posibilidades son exactamente dos de los cuatro tipos?
R= hay C (4,2) = 6 formas de especificar cualquiera
de los dos tipos de tarjeta. Para cada una de estas especificaciones que hacer
una selección desordenada de los cinco objetos de los dos tipos con la
repetición. Esto puede hacerse en C (2 5-1, 2-1) = C (6,1) = 6 maneras.
Horewer, dos de estas posibilidades contener sólo un tipo de tarjeta. Por lo
tanto, hay 6 x 4 = 24 selecciones de cinco cartas que contienen exactamente dos
de los tipos de tarjetas de ofter.
6.13
¿Cuántos arreglos diferentes hay de las letras de
la palabra
Abracadabra?
Abracadabra?
Hay 11! Permutaciones de las letras A, B, R, A, C,
A, D, A, B, R y A.
Desde las cinco de A, dos de B y dos de R son indistinguibles, hay
11! / 5! 2! 2! = 83160 ó Reordenamientos diferentes.
Desde las cinco de A, dos de B y dos de R son indistinguibles, hay
11! / 5! 2! 2! = 83160 ó Reordenamientos diferentes.
cuántos de ellos:
(a) ¿comienza con la letra C?
Hay
10! / 5! 2! 2! = 7560 ó
10! / 5! 2! 2! = 7560 ó
Diferentes reordenamientos de las letras A, B, R,
A, A, D, A, B, R y A, y así 7560 reordenamientos de las letras en ABRACADABRA
comienzan con C.
(b) ¿han Bs juntos?
Se requiere el número de reordenamientos diferentes
objetos de la 10 BB, A, R, A, C, A, D, A, R y A. esto es sólo
10! / 5! 2! = 15120 ó
10! / 5! 2! = 15120 ó
6.14
(a) determinar el
coeficiente de ab en la expansión de (a + b)
R= El coeficiente requerida es C (8,5) = 56.
(b) determinar el coeficiente de xyz en la expansión de (x + y + z)
R= El coeficiente requerido es
8! / 1! 3! 4! = 280 ó
8! / 1! 3! 4! = 280 ó
(c) determinar el coeficiente de xyz en la expansión de (x + 2y + z -1)
La expansión de (〖a + b + c + d)〗 ^5 contiene el plazo de 60 〖〗ab ^ 2
cd. Sea a = x, b = 2a, c y d = z = -1.
Entonces, la expansión de (x 〖2 y + z-1)〗 ^5 contiene el plazo de 60 x 〖(2a)〗 ^ 2 z (-1) = -240 〖〗 ^ 2 xy z.
Por lo tanto, el coeficiente de xy 〖〗 ^2 z. en el desarrollo de (x 〖2 y + z-1)〗 ^5 es -240.
Entonces, la expansión de (x 〖2 y + z-1)〗 ^5 contiene el plazo de 60 x 〖(2a)〗 ^ 2 z (-1) = -240 〖〗 ^ 2 xy z.
Por lo tanto, el coeficiente de xy 〖〗 ^2 z. en el desarrollo de (x 〖2 y + z-1)〗 ^5 es -240.
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